质心公式

如果物体上每点的重力加速度相等，那么重心和质心在同一位置。后面我们只讨论质心，即质量分布的等效中心。

【资料图】

质心的计算公式

我们将物体分成若干个质点{m_i}，每个质点相对于O的距离为\vec r_i，以O为支点，所有重力的力矩之和等效为全部重力作用在重心的力矩。

故重心：

写成分量形式则有：

常见质心计算

1.均匀半圆环

由于对称性，质心在对称轴上，而且，左右两个1/4圆的质心高度相等，所以我们只要考虑1/4圆的质心高度即可。

我们取处圆心角对应的一小段圆弧，质心纵坐标为，假设质量线密度为\lambda，小圆弧质量为，代入质心公式得：

故半圆弧质心高度为.

2.均匀半圆盘

同样由于对称性，质心一定在对称轴上。我们沿用上一问的结论，我们将半圆盘沿着半径方向分割为厚度为dr的小圆弧。每一个小圆弧的质心坐标为，假设圆盘质量面密度为，则小圆弧的质量.代入质心公式得：

3.均匀半球面

易知质心在对称轴上，我们取一个小圆环，厚度为，半径为。则小圆环的质心高度为，假设球面质量面密度为，则圆环质量，代入质心公式：

这个结论很特殊，实际上，每个小圆环的质量中，为圆环的高度，这意味着圆环高度一定时，对应的小圆环质量也一定。

4.均匀半球体

利用上一问的结论，将半球体分割为若干个半径为r的薄半球壳，厚度为dr。则半球壳的质心高度为r/2，假设球体的质量体密度为，则半球壳的质量，代入质心公式：

这4种质心，分别是质量的曲线分布，平面分布，曲面分布和空间分布，其它质心都可以类似求解。

另外，等效是没有先后顺序的，比如求3个物体的等效质心，可以先求其中2个物体的等效质心，再求出与第3个物体的等效质心。

巴普斯定理

一个密度均匀的有限平面，以垂直平面的速度运动，扫过的体积等于质心经过的路程乘平面面积。

证明：

设总面积为S，总质量为M。则质心位置：

则

由于速度与平面垂直，为dt内扫过的面积，为dt内平面扫过的面积。两边积分得：

左边为质心通过路程，右边分子为平面扫过总体积。平面宽度为0，变为曲线时，扫过体积则变为扫过的面积。

利用巴普斯定理我们可以快速计算一些平面图形的质心。

1.半圆弧绕直径转一圈

故

2.半圆盘绕直径转一圈

故

负质量等效

有些挖空的求质心的问题，除了列方程的方法，假想负质量等效来求解质心，则更加快捷。

一质量均匀分布的半圆形薄片，圆心O，半径R.其上有半径为r的小圆孔，孔圆心为O'， OO'垂直于半圆形薄片的直径，OO'=d.大小关系如图，求此带小孔半圆形薄片的质心离圆心O的距离。

质心在对称轴上，假设质心高度为y_C.可以看成半圆薄片叠加一个负质量的小圆孔：

练习

如图所示，一个半径为R的1/4光滑圆柱面放置在水平面上。柱面上置一线密度为的光滑均匀铁链，其一端固定在柱面顶端A，另一B恰与水平面相切，试求铁链的重心到轴O的距离l．

答案：

半径为R的圆面绕圆面内与之相切的一条轴线AA'旋转而形成一个环，如图。求此环的体积。

答案：